$15\Omega$ রোধের একটি তারকে টেনে এমনভাবে লম্বা করা হল যাতে এর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ এবং প্রস্থচ্ছেদ অর্ধেক হয়। এখন তারটিকে সমান দুই অংশে বিভক্ত করে অংশ দুটিকে সমান্তরালে সংযুক্ত করা হল। এ অবস্থায় তারটির রোধ কত?

তারের রোধ তার দৈর্ঘ্য (\(L\)) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল (\(A\)) এর উপর নির্ভরশীল, যা নিম্নের সূত্র দ্বারা প্রকাশিত হয়:

\(R = \rho \frac{L}{A}\)

যেখানে \(\rho\) হলো তারের উপাদানের রোধকত্ব (পরিবর্তন হয় না)।

প্রথমে, তারটির প্রাথমিক রোধ \(R_1 = 15 \, \Omega\)। ধরা যাক, এর প্রাথমিক দৈর্ঘ্য \(L_1\) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \(A_1\)।

সুতরাং, \(15 = \rho \frac{L_1}{A_1}\) .......... (1)

তারটিকে টেনে এমনভাবে লম্বা করা হলো যে এর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ (\(L_2 = 2L_1\)) হয় এবং প্রস্থচ্ছেদ অর্ধেক (\(A_2 = A_1/2\)) হয়। তারকে টানলে এর আয়তন অপরিবর্তিত থাকে।

নতুন তারের রোধ \(R_2\) হবে:

\(R_2 = \rho \frac{L_2}{A_2}\)

মান বসিয়ে পাই:

\(R_2 = \rho \frac{2L_1}{A_1/2}\)

\(R_2 = \rho \frac{4L_1}{A_1}\)

\(R_2 = 4 \left( \rho \frac{L_1}{A_1} \right)\)

সমীকরণ (1) থেকে \(\rho \frac{L_1}{A_1} = 15 \, \Omega\) বসিয়ে পাই:

\(R_2 = 4 \times 15 \, \Omega\)

\(R_2 = 60 \, \Omega\)

এখন, \(60 \, \Omega\) রোধের তারটিকে সমান দুই অংশে বিভক্ত করা হলো। প্রতিটি অংশের রোধ হবে:

\(R_{অংশ} = \frac{R_2}{2} = \frac{60 \, \Omega}{2} = 30 \, \Omega\)

এই দুটি অংশকে সমান্তরালে সংযুক্ত করা হলো। সমান্তরাল সংযোগের ক্ষেত্রে তুল্য রোধ (\(R_{eq}\)) এর সূত্র হলো:

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{অংশ}} + \frac{1}{R_{অংশ}}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{30 \, \Omega} + \frac{1}{30 \, \Omega}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{2}{30 \, \Omega}\)

\(\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{15 \, \Omega}\)

\(R_{eq} = 15 \, \Omega\)

সুতরাং, এ অবস্থায় তারটির রোধ হবে \(15 \, \Omega\)।